Diagrama de Bode

Función de transferencia

Para realizar el análisis en frecuencia de un circuito utilizando diagramas de Bode lo primero es hallar nuestra función de transferencia, para ello debemos utilizar leyes circuitales para relacionar las tensiones de entrada y salida tal que:

\[ H(s)=\frac{V_{o}(s)}{V_{in}(s)} \]

Trabajaremos el siguiente filtro RL serie a modo de ejemplo:

Si hacemos la LVK de este circuito tenemos:

\[ v_{in}(t) = v_{R}(t) + v_{L}(t) + v_{o}(t) \]

Reemplazamos con expresiones en función de la corriente para las tensiones en las resistencias e inductancia, aplicamos transformada de Laplace (con las tablas del súper ayudante) y ordenamos la expresión:

\[ v_{in}(t) = R \cdot i(t) + L \cdot \frac{d\,i(t)}{dt} + R_{o} \cdot i(t) \]
\[ \mathcal{L}\{v_{in}(t)\} = \mathcal{L}\{R \cdot i(t)\} + \mathcal{L}\{L \cdot \frac{d\,i(t)}{dt}\} + \mathcal{L}\{R_{o} \cdot i(t)\} \]
\[ V_{in}(s) = R \cdot I(s) + L \cdot s \cdot I(s) + R_{o} \cdot I(s) \]
\[ V_{in}(s) = I(s) \, [\,(R + R_{o}) + L \, s \,] \]

Aplicamos ley de Ohm para expresar la corriente en función de la tensión de salida y ordenamos para construir H(s):

\[ V_{in}(s) = \frac{V_{o}(s)}{R_{o}} \, [\,(R + R_{o}) + L \, s \,] \]
\[ \frac{V_{o}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{R_{o}}{L \, s + (R + R_{o})} \]
\[ H(s) = \frac{R_{o}}{L \, s + (R + R_{o})} \]

Diagrama de Bode

Construir un diagrama de Bode consiste en hacer un análisis en frecuencia en escala de decibeles siguiendo la definición:

\[ H_{dB} = 20 \, log|H(j\omega)| \]

Aplicar el procedimiento de la definición anterior a nuestra función de transferencia ya la trasladaría a escala de decibeles y si graficáramos eso obtendríamos el diagrama de Bode de magnitud, pero es conveniente trabajar un poco más la función de transferencia para mayor comprensión y obtención de información.

La idea es llevar nuestra función de transferencia a una expresión de la forma:

\[ H(s) = K \, \frac{ (1 + \frac{s}{a_{1}})(1 + \frac{s}{a_{2}})... }{(1 + \frac{s}{b_{1}})(1 + \frac{s}{b_{2}})... } \]

A esta forma la llamamos función de transferencia normalizada y de ella se puede extraer bastante información pero a nosotros nos interesan dos cosas: primero, K definirá más tarde la ganancia de voltaje, segundo, la expresión está construida por productos de sumas en los que cada binomio construye una asíntota del diagrama de Bode.

Aplicando esta idea a la función de transferencia de nuestro ejemplo tenemos:

\[ H(s) = \frac{R_{o}}{L \, s + (R + R_{o})} \]
\[ H(s) = \frac{ \frac{R_{o}}{L} }{ s + \frac{R + R_{o}}{L}} \]
\[ H(s) = \frac{ \frac{R_{o}}{L} }{ \frac{R+R_{o}}{L} } \cdot \frac{1}{1+ \frac{s}{ \frac{R+R_{o}}{L} } } \]
\[ H(s) = \frac{R_{o}}{R+R_{o}} \cdot \frac{1}{1+\frac{s}{ \frac{R+R_{o}}{L} } } \]

Finalmente, pasamos nuestra función de transferencia a escala de decibeles:

\[ H(j\omega) = \frac{R_{o}}{R+R_{o}} \cdot \frac{1}{1+\frac{j\omega}{ \frac{R+R_{o}}{L} } } \]
\[ |H(j\omega)| = \frac{R_{o}}{R+R_{o}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{\omega^2}{ \left(\frac{R+R_{o}}{L}\right)^2}}} \]
\[ 20 \, log|H(j\omega)| = 20 \, log \left( \frac{R_{o}}{R+R_{o}} \right) - 20 \, log \sqrt{1+\frac{\omega^2}{ \left(\frac{R+R_{o}}{L}\right)^2}} \]
\[ H_{dB} = 20 \, log \left( \frac{R_{o}}{R+R_{o}} \right) - 20 \, log \sqrt{1+\frac{\omega^2}{ \left(\frac{R+R_{o}}{L}\right)^2}} \]

En esta última expresión podemos observar individualmente cada asíntota de nuestro ejemplo y también la ganancia, esta última vendría siendo el termino constante, es decir,:

\[ Ganancia = 20 \, log K \]