Transformada de Laplace
\[\mathcal{L}[f](s) = \int_{0}^{\infty} f(x)e^{-sx} dx\]
1. Propiedades operacionales
| Propiedad | Función | Transformada |
|---|---|---|
| Linealidad | \(\alpha f(x) + \beta g(x)\) | \(\alpha F(s) + \beta G(s)\) |
| Primer teorema de traslación | \(e^{ax} f(x)\) | \(F(s-a)\) |
| Segundo teorema de traslación | \(f(x-a)u(x-a)\) | \(e^{-as}F(s)\) |
| Escalamiento de eje | \(f(ax)\) con \(a > 0\) | \(\frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right)\) |
| Derivada de orden \(n\) | \(f^{(n)}(x)\) | \(s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)\) |
| Integral de la función | \(\int_{0}^{x} f(\tau) d\tau\) | \(\frac{F(s)}{s}\) |
| Multiplicación por \(x^n\) | \(x^n f(x)\) | \((-1)^n \frac{d^n}{ds^n} F(s)\) |
| División por \(x\) | \(\frac{f(x)}{x}\) | \(\int_{s}^{\infty} F(\sigma) d\sigma\) |
| Convolución | \((f * g)(x)\) | \(F(s)G(s)\) |
2. Pares comunes de transformadas
Nota: En esta sección, \(a\) es una constante real, \(\delta(t)\) el impulso de Dirac y \(u(t)\) es la función escalón de Heaviside.
| Función | Transformada | Región de convergencia |
|---|---|---|
| \(1\) | \(\frac{1}{s}\) | \(s > 0\) |
| \(x\) | \(\frac{1}{s^2}\) | \(s > 0\) |
| \(x^n\) | \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) | \(s > 0\) |
| \(x^a\) (\(a > -1\)) | \(\frac{\Gamma(a+1)}{s^{a+1}}\) | \(s > 0\) |
| \(e^{ax}\) | \(\frac{1}{s-a}\) | \(s > a\) |
| \(x^n e^{ax}\) | \(\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}\) | \(s > a\) |
| \(\sin(ax)\) | \(\frac{a}{s^2 + a^2}\) | \(s > 0\) |
| \(\cos(ax)\) | \(\frac{s}{s^2 + a^2}\) | \(s > 0\) |
| \(\sinh(ax)\) | \(\frac{a}{s^2 - a^2}\) | \(s > \lvert a \rvert\) |
| \(\cosh(ax)\) | \(\frac{s}{s^2 - a^2}\) | \(s > \lvert a \rvert\) |
| \(e^{ax}\sin(bx)\) | \(\frac{b}{(s-a)^2 + b^2}\) | \(s > a\) |
| \(e^{ax}\cos(bx)\) | \(\frac{s-a}{(s-a)^2 + b^2}\) | \(s > a\) |
| \(x\sin(ax)\) | \(\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}\) | \(s > 0\) |
| \(x\cos(ax)\) | \(\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}\) | \(s > 0\) |
| \(\delta(x)\) | \(1\) | Todo \(s\) |
| \(\delta(x-a)\) | \(e^{-as}\) | Todo \(s\) |
| \(u(x-a)\) | \(\frac{e^{-as}}{s}\) | \(s > 0\) |