Transformada de Fourier
Convención simétrica unitaria:
- Transformada directa: \(\hat{f}(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt\)
- Transformada inversa: \(f(t) = \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f}(\omega)\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) e^{i\omega t} d\omega\)
1. Propiedades operacionales
| Propiedad | Función | Transformada |
|---|---|---|
| Linealidad | \(a f(t) + b g(t)\) | \(a \hat{f}(\omega) + b \hat{g}(\omega)\) |
| Desplazamiento temporal | \(f(t - t_0)\) | \(e^{-i\omega t_0} \hat{f}(\omega)\) |
| Desplazamiento frecuencial | \(e^{i\omega_0 t} f(t)\) | \(\hat{f}(\omega - \omega_0)\) |
| Escalamiento | \(f(at)\) | \(\frac{1}{\vert a \vert} \hat{f}\left(\frac{\omega}{a}\right)\) |
| Simetría | \(\hat{f}(t)\) | \(f(-\omega)\) |
| Conjugación | \(f^*(t)\) | \(\hat{f}^*(-\omega)\) |
| Derivación en el tiempo | \(f^{(n)}(t) = \frac{d^n}{dt^n}f(t)\) | \((i\omega)^n \hat{f}(\omega)\) |
| Derivación en frecuencia | \((-it)^n f(t)\) | \(\hat{f}^{(n)}(\omega) = \frac{d^n}{d\omega^n}\hat{f}(\omega)\) |
| Integración temporal | \(\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau\) | \(\frac{1}{i\omega} \hat{f}(\omega) + \pi \hat{f}(0) \delta(\omega)\) |
| Convolución | \((f * g)(t)\) | \(\sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)\) |
| Multiplicación | \(f(t) g(t)\) | \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} (\hat{f} * \hat{g})(\omega)\) |
| Teorema de Parseval | \(\int_{-\infty}^{\infty} \vert f(t) \vert^2 dt\) | \(\int_{-\infty}^{\infty} \vert \hat{f}(\omega) \vert^2 d\omega\) |
2. Pares comunes de transformadas
Nota: En esta sección, \(a\) es una constante real, \(\delta(t)\) el impulso de Dirac y \(u(t)\) es la función escalón de Heaviside.
| Función | Transformada | Notas / Condiciones |
|---|---|---|
| \(\delta(t)\) | \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\) | Impulso de Dirac |
| \(\delta(t - t_0)\) | \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-i\omega t_0}\) | Impulso desplazado en el tiempo |
| \(1\) | \(\sqrt{2\pi} \delta(\omega)\) | Constante |
| \(e^{i\omega_0 t}\) | \(\sqrt{2\pi} \delta(\omega - \omega_0)\) | Exponencial compleja |
| \(\cos(\omega_0 t)\) | \(\sqrt{\frac{\pi}{2}} [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]\) | Función coseno |
| \(\sin(\omega_0 t)\) | \(-i\sqrt{\frac{\pi}{2}} [\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)]\) | Función seno |
| \(u(t)\) | \(\sqrt{\frac{\pi}{2}} \delta(\omega) + \frac{1}{i\omega\sqrt{2\pi}}\) | Escalón unitario |
| \(e^{-at} u(t)\) | \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}(a + i\omega)}\) | Exponencial decreciente causal |
| \(e^{-a\vert t \vert}\) | \(\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{a}{a^2 + \omega^2}\) | Exponencial decreciente bilateral |
| \(\text{rect}\left(\frac{t}{2a}\right)\) | \(\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin(a\omega)}{\omega}\) | Pulso rectangular (Vale \(1\) si \(\vert t \vert < a\)) |
| \(\frac{\sin(at)}{\pi t}\) | \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \text{rect}\left(\frac{\omega}{2a}\right)\) | Función \(sinc\) |
| \(e^{-at^2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{2a}} e^{-\frac{\omega^2}{4a}}\) | Campana de Gauss |
| \(t u(t)\) | \(i\sqrt{\frac{\pi}{2}} \delta'(\omega) - \frac{1}{\sqrt{2\pi}\omega^2}\) | Función rampa causal |
| \(t e^{-at} u(t)\) | \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}(a + i\omega)^2}\) | Multiplicación por rampa causal |